Демокрит

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели

место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существо-

вания математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разре-

шались противоречия, выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абс-

тракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью

ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не

можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как

представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается пря-

мой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать

как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как

никто не может считать до бесконечности;бесконечную делимость, пос-

кольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику

можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практи-

чески упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее бы-

ло построить систему фундаментальных положений математики, в которой

бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу ре-

шил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом

среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочине-

ний, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики,

космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики,

педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал

о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не уста-

новил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое

впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он

выгодно отличается от других".

Вводной частью научной системы Демокрита была "каноника", в ко-

торой формулировались и обосновывались принципы атомистической фило-

софии. Затем следовала физика, как наука о различных проявлениях бы-

тия, и этика. Каноника входила в физику в качестве исходного разде-

ла, этика же строилась как порождение физики. В философии Демокрита

прежде всего устанавливается различие между "подлинно сущим" и тем,

что существует только в "общем мнении". Подлинно сущими считались

лишь атомы и пустота. Как подлинно сущее, пустота (небытие) есть та-

кая же реальность, как атомы (бытие). "Великая пустота" безгранична

и заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни

края, ни центра, она делает прерывной материю и возможным ее движе-

ние. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно однородные

первотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру,

положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной твер-

дости и отсутствия в них пустоты и "по величине неделимы". Атомам

самим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие кото-

рого определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение

атомов вечно и в конечном итоге является причиной всех изменений в

мире.

Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые

явления свести к области "истинного сущего" и дать им объяснение ис-

ходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто пос-

редством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую

позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: "Демокрит

не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естест-

воиспытателем". Содержание исходных философских принципов и гносео-

логические установки определили основные черты научного метода Де-

мокрита:

а) В познании исходить от единичного;

б) Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов

(анализ) и объяснимы исходя из них (синтез);

в) Различать существование "по истине" и "согласно мнению";

г) Явления действительности - это отдельные фрагменты упорядо-

ченного космоса, который возник и функционирует в результате дейс-

твий чисто механической причинности.

Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разде-

лом собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В

самом деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства име-

ют количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать

учение Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит

хотя и сохраняет идею господства в мире математической закономернос-

ти, но выступает с критикой априорных математических построений пи-

фагорейцев, считая, что число должно выступать не законодателем при-

роды, а извлекаться из нее. Математическая закономерность выявляется

Демокритом из явлений действительности, и в этом смысле он предвос-

хищает идеи математического естествознания. Исходные начала матери-

ального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как мате-

матические объекты, и в соответствии с этим математике отводится

видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах

вещей. Однако включение математики в основание мировоззренческой

системы потребовало ее перестройки, приведения математики в соот-

ветствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеоло-

гией, методологией научного исследования. Созданная таким образом

концепция математики, называемая концепцией математического атомиз-

ма, оказалась существенно отличной от предыдущих.

У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии,

точки) выступают в определенных материальных образах. Идеальные

плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процеду-

рой математического атомизма является разложение геометрических тел

на тончайшие листики (плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки

(линии), линий - на мельчайшие зернышки (атомы). Каждый атом имеет

малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии оп-

ределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично

решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те-

ле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно, хотя

и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличием

учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им беско-

нечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности те-

оретических построений математики, не сводя их к чувственно воспри-

нимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения Прота-

гора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что

чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему,

что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительнос-

ти же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному ана-

лизу, а относится к области истинного познания.

Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит

проводит ряд конкретных математических исследований и достигает вы-

дающихся результатов (например, теория математической перспективы и

проекции). Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немало-

важную роль в доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пи-

рамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли он при решении

этой задачи методами анализа бесконечно малых. А.О.Маковельский пи-

шет: "Демокрит вступил на путь, по которому дальше пошли Архимед и

Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечно малого, Де-

мокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безг-

раничного увеличения числа слагаемых, образующих в своей сумме дан-

ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающееся ис-

числению вследствие своей огромности число этих слагаемых".

Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его

идея о построении теоретической математики как системы. В зародыше-

вой форме она представляет собой идею аксиоматического построения

математики, которая затем была развита в методологическом плане Пла-

тоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.